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几种求素数与验证素数的方法

博主刚写了一篇Luogu T1125的解题报告,里面涉及到欧拉筛法。本篇博文会介绍一些素数筛法和素数验证法。

博主的数论并不是特别好,各路大神轻点喷

GitHub无法支持MathJax.rb插件的植入,所以此篇文章的LaTex数学公式无法查看,请转:在CSDN上发表的此篇博客

素数筛法

1. Eratosthenes筛法

又名:埃拉托斯特尼筛法
时间复杂度:
难度:☆

具体代码:

memset(check,false,sizeof(check));
int tot=0;
for(int i=2;i<=n;i++)
	if(!check[i])
	{
		prime[++tot]=i;
		for(int j=i*2;j<=n;j+=i)//i的倍数都不是素数
			check[j]=true;
	};

2. Euler筛法

又名:欧拉筛法、线性筛法
时间复杂度:
难度:★

具体代码:

for(int i=2;i<=m;i++)
{
	if(!check[i])prime[++tot]=i;
	for(int j=1;j<=tot;j++)
	{
		if(i*prime[j]>m)break;//超了范围就不做了,减少运行时间
		check[i*prime[j]]=true;//一个数乘另一个数所得到的数一定不是素数
		if(i%prime[j]==0)break;//此时i是一个合数,退出
	};
};

验证素数

普通验证素数法

时间复杂度:
难度:☆

bool flag=true;
for(int i=2;i<=trunc(sqrt(prime));i++)
	if(prime%i==0)flag=false;//置不是素数标志

Miller-Rabin

时间复杂度: k是次数(见下文)
难度:★★★

这里只说明一下原理,关于代码,自行百度吧。

  • 根据费马小定理,随机选一个数,若(mod p)则很有可能是素数。多次尝试(尝试k次)若都成立若都成立则判定为素数。
  • 但是合数也有可能能通过这一测试:Carmichael数
  • Carmichael概念:
      卡迈克尔数是一种合数,使得对于所有跟n互质的整数a:(mod n)
  • 这种数用此方法测试时,除非random出其因子,不然都无法判断为合数。例如:6。
  • 二次探测定理:若n为素数,方程(mod n)小于n的正整数解只有
  • 先计算出m、j,使得且j尽可能大。
  • 随机选一个数
  • 计算x=mod n
  • 然后将x不断平方j次,重复如下步骤:
      1. 计算y=(mod n)
      2. 如果y=1并且,此时一定不是素数,退出测试
      3. x=y;
      4. 如果y=1,暂时认为是素数,回到2.继续下一轮 若上述计算中没有满足2.和4.而正常退出,即不满足(mod n),一定不是质数

Ps.此方法参考了陈淙靓在清北学堂的课件

此博文到此结束,感谢惠读

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